如何判定等边三角形

判定等边三角形有四条路：三边相等、三角相等、有一个 60° 角的等腰三角形、有两个 60° 角的三角形。四条本质上是同一件事的不同入口，做题时优先找 60°，因为角度条件比边长条件更容易从图上或已知里看出来。

四条判定，各自的推理链

第一条是三边相等。这是定义，看到 AB 等于 BC 等于 CA，直接下结论，不需要再算角。用定义判定的题往往最简单，也最容易被忽略，学生总想找更复杂的条件。

第二条是三角相等。三角形内角和 180°，三个角相等则每个角都是 60°，再回到定义，三个 60° 的三角形三边自然相等。这条的实质是「角等推边等」，用的是等角对等边。

第三条是有一个 60° 角的等腰三角形。已知两边相等，再加一个 60°，无论这个 60° 在哪个位置，结论都成立，但要分两种情形讨论，后面单独说。

第四条是有两个 60° 角的三角形。第三个角只能是 180° 减 120°，等于 60°，于是三角相等，归到第二条。这条不需要先知道等腰，适用范围比第三条宽。

因为题目通常只说「等腰三角形中有一个角是 60°」，不说这个角是顶角还是底角。两种可能都要算，漏掉一种，推理过程就有漏洞。

若 60° 是顶角，两个底角各为（180° 减 60°）除以 2，等于 60°，三角相等，是等边三角形。若 60° 是底角，另一个底角也是 60°，顶角为 180° 减 120°，等于 60°，同样是等边三角形。

两种情形的结果一样，所以结论不受影响；但过程必须写全，这是评分点。教材把它表述为「有一个角是 60° 的等腰三角形」，而不写「顶角 60°」或「底角 60°」，正是为了把两种情形都包进去。

反例很好找：三个角分别是 60°、50°、70° 的三角形，有 60° 角，却不是等边三角形。所以「有一个 60° 角」只是半个条件，另一半必须是等腰，两个条件缺一不可。

同理，「两边相等」单独也只能得到等腰，得不到等边。把两个半条件拼起来才是完整的判定，这也是第三条与第四条的区别所在：第四条用两个角，绕开了等腰这个前提。

还有一种常见误读，把「有两个角是 60°」记成「有两个角相等」。后者只是等腰，离等边还差一步。记判定的时候，数字和条件要一起记，不能只记个数。

三边相等、三角都是 60°，这是最基本的两条。由三边相等可以推出三线合一：每一条中线同时也是高、也是角平分线、也是对应边的中垂线，四条线重合在一条上。

四心合一：重心、垂心、内心、外心重合于同一点。这一点到三个顶点的距离相等，到三边的距离也相等，所以等边三角形既有内切圆又有外接圆，且两圆同心。

设边长为 a，则高为二分之根号三 a，面积为四分之根号三 a 的平方，内切圆半径为六分之根号三 a，外接圆半径为三分之根号三 a。外接圆半径是内切圆半径的两倍，这个比例在解题时很好用。

对称性方面，等边三角形有三条对称轴，绕中心旋转 120° 与原图重合。这些性质在旋转型几何题里经常是破题的关键。

第一个是把判定和性质用反。判定是由条件推结论，性质是由等边推边角关系。题目给了三边相等，用判定；题目说了等边，用性质。两者的书写格式不同，混用会失分。

第二个是把全等判定的坑搬过来。「两边及其中一边的对角相等」不能判全等，这是 SSA 的问题，与等边判定无关。有学生看到「两边一角」就套等边，实际那个角若不是 60°，什么也推不出。

第三个是忘了前提。三条线段相等，前提是它们能围成三角形；三点共线时谈不上三角形，更谈不上等边。做题时先看一眼图，确认不是退化情形。

还有一条经验：判定题里如果已知条件同时出现「等腰」与「60°」，直接套第三条，不必再绕道三角相等；如果只出现两个角，套第四条更快。先看给的是边还是角，再选入口，比一条条试要省时间。

是。等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的一切性质，比如三线合一、两底角相等。反过来不成立，等腰三角形不一定是等边三角形。

不需要。第三角必为 60°，三角相等即可判定，不必再逐个证三边相等。多写一步不算错，但浪费时间，也容易在过程中出错。

看题目的方向。从边角条件出发往「它是等边三角形」走，是判定；从「已知它是等边三角形」出发往边角关系走，是性质。写证明时先想清楚方向，再动笔。