素数的定义是什么

素数是大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身之外没有别的正因数的那些数。2、3、5、7、11、13 都是素数。1 不是素数，这不是随手排除，而是为了让"每个大于 1 的整数都能唯一分解成素数的乘积"这条定理站得住，否则整套数论都要打补丁。

定义只有一句，但三个条件经常被漏掉一个。漏掉"大于 1"，1 就混进来了；漏掉"正因数"，负因数也会被算进去；漏掉"恰好两个"，9 这种就会被误判。

定义里的三个条件，缺一不可

第一个条件，大于 1。这排除了 0 和 1。0 能被任何非零数整除，因数无穷多；1 只有 1 这一个因数。两者都不满足"两个因数"的要求。

第二个条件，自然数。这排除了负数和分数。负数和分数也能谈整除，但那已经超出素数定义的适用范围，中学阶段不讨论。

第三个条件，恰好两个正因数：1 和它本身。这一条把数分成三类。只有 1 个因数的，是 1；恰好 2 个因数的，是素数；3 个及以上的，是合数。

所以 2 是素数，因为它的因数只有 1 和 2。4 不是，因为还有 2。9 不是，因为还有 3。25 不是，因为还有 5。

为什么 1 被排除在外？

假设 1 算素数，算术基本定理立刻就塌了。6 可以写成 2 乘 3，也可以写成 1 乘 2 乘 3，还可以写成 1 乘 1 乘 2 乘 3，一直乘下去，分解方式无穷多种。"唯一分解"这四个字就失去了意义。

把 1 排除，规定素数必须恰好有两个因数，唯一性马上恢复。6 只能写成 2 乘 3，顺序不同不算不同，因为没有别的拆法。

所以"1 不是素数"是定义的选择，不是 1 有什么缺陷。历史上确实有过把 1 当素数的时期，十九世纪以后才逐渐统一。这不是数学本身变了，是约定变了。

还有一层原因：如果 1 是素数，那么"任意两个素数相乘得到合数"这类结论也要跟着改，因为 1 乘任何素数还是那个素数，不产生新数。为了整套体系简洁，1 被单独拿出来。

2 是唯一的偶素数，这句话为什么重要？

偶数都能被 2 整除。大于 2 的偶数，至少有 1、2、它本身三个因数，所以一定是合数。

于是"所有素数都是奇数"这句话是错的，反例是 2；"除 2 以外的素数都是奇数"才是对的。这类带"所有"的判断题，出题人就靠 2 来设套。

2 的特殊性还体现在别处。它是唯一的偶素数，也是最小的素数，还是唯一一个相邻两个数都是素数的成员之一（2 和 3）。再往后，3 和 5、5 和 7、11 和 13 都是素数对，但除了 2 和 3，所有素数对都是奇数对，间隔至少是 2。

判断素数：试除到根号 n 就够

最朴素的方法是一个个试除。但不需要除到 n 的一半，除到 n 的平方根就行。

理由是这样：如果 n 等于 a 乘 b，且 a 不大于 b，那么 a 一定不大于 n 的平方根。所以只要 n 有真因数，必然有一个不超过平方根。反过来说，如果试到平方根都没找到因数，n 就是素数。

题目：判断 143 是不是素数。

解：143 的平方根约等于 11.96，只需试 11 以内的素数，即 2、3、5、7、11。143 是奇数，跳过 2；各位数字和是 8，不能被 3 整除；末位不是 0 或 5，跳过 5；143 除以 7 等于 20 余 3，不行；143 除以 11 等于 13，整除了。

所以 143 等于 11 乘 13，是合数。这个例子说明，光看"长得像素数"没用，必须实际试除。

再看 127。平方根约等于 11.3，试 2、3、5、7、11，都不能整除，所以 127 是素数。整个判断过程不超过一分钟。

100 以内的素数，用筛法列一遍

把 2 到 100 依次写下，先保留 2，划掉所有 2 的倍数；再保留 3，划掉所有 3 的倍数；接着是 5、7。剩下的就是素数，一共 25 个。

为什么筛到 7 就够？因为 100 的平方根是 10，10 以内的素数只有 2、3、5、7。把这四个的倍数全部划掉，剩下的数不可能再有小于等于 10 的因数，只能是素数。

这 25 个是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

表里 51 和 91 是最容易被误判的两个。它们都是奇数，末位不是 5，看起来"很素"，但都能被小素数整除。心算时先试 3、7、11、13 这四个，能拦下大部分伪装者。

最容易错在哪

错误一：把 1 当素数。这是最高频的错误。记住 1 既不是素数也不是合数，它单独一类。

错误二：把 2 当合数。理由是"2 是偶数，偶数都是合数"。前半句对，后半句错，2 只有 1 和 2 两个因数。

错误三：认为 91、51、87 是素数。它们分别等于 7 乘 13、3 乘 17、3 乘 29，都是合数。判断素数不能靠眼缘。

错误四：试除一直除到 n 的一半。浪费时间，而且容易算错。只需要除到平方根，这是定义之外最实用的一条技巧。

错误五：认为素数个数有限。欧几里得早就用反证法证明了素数有无穷多个：假设素数有限，把它们全部相乘再加 1，得到的数要么本身是素数，要么含有不在列表里的素因数，两种情况都矛盾。

错误六：把区间端点算进去。有的资料说"2 和它的 2 倍 4 之间，素数是 2 和 3"，这是错的。区间是开区间，2 不算，正确答案只有 3。定理的原话是"大于 1 的数 a 与 2a 之间至少存在一个素数"，端点不参与。

常见问题

1 为什么不是素数

因为素数要求恰好有两个正因数，1 只有 1 这一个。更深的原因是，如果 1 算素数，整数分解成素数乘积的方式就不再唯一，算术基本定理会失效。这是定义上的取舍。

2 是素数吗

是。2 的因数只有 1 和 2，符合定义。它是唯一的偶素数，也是最小的素数。所有大于 2 的偶数都是合数。

怎么快速判断一个数是不是素数

先用 2、3、5 的整除规则快速排除，再用 7、11、13 试除，一直试到这个数的平方根为止。全部不能整除，就是素数。超过平方根的因数不必再试。