什么样的平行四边形是正方形

一个平行四边形，只要再加上「有一个角是直角」和「有一组邻边相等」这两个条件，就是正方形。少一个都不行：只有直角得到矩形，只有邻边相等得到菱形，两个都占才是正方形。这个结论看着简单，考试里错的人却不少，多数是只记住了一半。

两条判定链，殊途同归

第一条路：平行四边形，加一个直角，成为矩形；再给一组邻边相等，矩形就收成了正方形。第二条路：平行四边形，加一组邻边相等，成为菱形；再给一个直角，菱形就正了过来。

两条路的终点相同，因为正方形本来就是「既是矩形又是菱形」的四边形。理解这一句，比背四条判定定理有用得多：矩形的全部性质它都有，菱形的全部性质它也有，两套性质的交集就是正方形的性质。

教材把判定写成两条定理，其实是一件事的两种走法。做题时先看题目给了什么起点，是平行四边形、矩形还是菱形，再选对应的那条路，比死记「加什么得什么」更不容易乱。

只加直角，得到的是矩形。矩形的对边相等、四个角都是直角，但邻边可以一长一短，四条边不必相等。长宽不等的矩形随手就能画出来，它满足「直角」这一个条件，却不是正方形。

只加邻边相等，得到的是菱形。菱形的四条边相等、对角线互相垂直，但内角可以不是直角，比如一个内角 60 度、另一个 120 度的菱形，形状像压扁的方块，它满足「邻边相等」这一个条件，也不是正方形。

两个条件的作用是互相补位：直角管住角，邻边相等管住边。缺了任何一个，图形就退回到矩形或菱形。这也解释了为什么正方形的定义要同时写「四条边相等」和「四个角都是直角」——定义里本来就藏着两个条件。

还有一种更隐蔽的错误，是把「四条边相等、四个角相等」当成两个独立条件。四边形的内角和是 360 度，四个角相等就意味着每个角都是 90 度，「四角相等」本身已经包含直角；而「四边相等」推不出四角相等。看上去给了两个条件，实际起作用的仍是一个，所以这种表述并不比「邻边相等加一个直角」更强。

对角线相等，平行四边形是矩形；对角线互相垂直，平行四边形是菱形；对角线既相等又互相垂直，平行四边形就是正方形。三条判定串起来，只用画两条线就能定形，几何证明里非常省事。

前提不能丢。一般四边形中，对角线相等且互相垂直，推不出正方形：把一个菱形的对角线画出来，它们垂直，但长度不等；把一个矩形的对角线画出来，它们相等，但不垂直；而一个普通的筝形，对角线垂直，长度也不等。条件要凑齐才成立。

所以完整的表述是：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。「平分」这一项保证了它是平行四边形，「垂直」给了菱形，「相等」给了矩形，三项合起来才是正方形。写判定时漏掉「平分」，逻辑上就有漏洞。

七行里前六行都是从特殊平行四边形出发，只有最后一行从一般四边形出发，所以它的条件最重。考试里给的条件越少，起点图形的「身份」就越高，这个规律值得记住。

正方形有很多漂亮的性质：对角线把每个内角平分成 45 度，两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，内切圆面积约占正方形面积的 78.5%，外接圆面积约占 157%。这些都是「已知是正方形」之后推出来的结论，方向是从图形到性质。

判定要反过来用，从条件到图形。比如「对角线平分一组对角的矩形是正方形」这条能用，因为矩形加上「对角线平分内角」可以推出邻边相等；但「对角线夹角 45 度的四边形是正方形」就不能用，条件太弱，反例一大把。

分辨的办法是看这句话的主语。主语已经是「正方形」的，是性质；主语是平行四边形、矩形、菱形或四边形的，才可能是判定。做题时把这句话在心里过一遍，多数混淆都能避免。

是。正方形满足平行四边形的全部定义：两组对边分别平行且相等。它同时还是特殊的矩形、特殊的菱形，三个身份叠加在一起，这也是它性质最多的原因。

不一定，四条边都相等的四边形是菱形，内角可以不是直角。要成为正方形，还要再加「有一个角是直角」这个条件。

四条。两条是对角线所在直线，两条是对边中点连线。正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。