平行线的定义是什么

平行线的定义是在同一平面内不相交的两条直线，三个要素缺一不可：同一平面内、两条直线、不相交。网上不少资料一上来就讲平行公理和非欧几何，把最该先说清的定义跳过去了。定义看着简单，真正容易出错的是那个限定语——少了「同一平面内」，空间里不相交的两条直线未必平行。

为什么一定要强调「同一平面内」？

在平面几何里，两条直线的位置关系只有两种，不是相交就是平行，没有第三种可能。但把视线移到三维空间，情况就变了：两条直线可以既不相交也不平行，这种关系叫异面直线。比如教室里一面墙上的竖直边线和对面天花板上的一条横线，它们永远不会碰面，方向也完全不同，谁也不与谁平行。如果定义里删掉平面这个前提，异面直线就会被错误地划进平行线。

这也是初中教材反复强调「同一平面内」的原因，它不是一句可有可无的修饰，而是限定讨论范围的边界条件。判断两条直线是否平行，第一步永远是确认它们能否被放在同一个平面里。共面的两条直线若不相交，才谈得上平行；不共面则连比较的前提都不成立。符号上记作 a∥b，读作 a 平行于 b，平行关系是对称的，也与直线的延伸方向无关，直线本身无限长，不存在「某一段平行」的说法。

平行公理在说什么？

欧氏几何的平行公理常表述为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。「有」保证存在，「只有」保证唯一，两个词都不能少。这条公理之所以出名，是因为它不像其他公理那样自明，历史上无数人试图从别的公理把它推出来，最后都失败了。正是这些失败催生了非欧几何：把「唯一」改成「至少两条」，得到罗巴切夫斯基几何；改成「没有」，得到黎曼几何。两套体系内部都自洽，只是描述的空间曲率不同。

对中学学习来说，非欧几何只需要知道存在，不必展开。真正要落实的是公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是平行关系的传递性。还有一条常用结论是，过一点作已知直线的平行线，作法唯一，因此作图题里「过某点作平行线」永远只有一解。把公理和推论分开记，考试里就不至于把「唯一」和「传递」混成一件事。

判定和性质为什么最容易搞反？

这是学习平行线时出错最集中的地方，因为两组命题长得几乎一样，只是条件和结论调了个位置。判定解决的是「怎么知道两直线平行」，从角的关系入手：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，三者任意一个成立，就能推出两直线平行。性质解决的是「已知平行能推出什么」，方向正好反过来：两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。一个由角推线，一个由线推角。

记的时候抓住主语就不会乱：判定句的主语是角，结论是线；性质句的主语是线，结论是角。做题时先问自己要证明的是平行还是角相等，需要平行就去找角的条件，需要角相等就先确认有没有平行已知。下面这张表把两组命题并排放，方向差异一眼可见。

「不相交」需要真的画到无穷远吗？

不需要，也不可能在纸面上做到。直线是无限延伸的几何对象，画出来的只是它的一小段，所以「不相交」说的是延伸之后也不相交，而不是眼前这段没碰上。两条看起来快要点相交的直线，只要方向有哪怕极小的差别，无限延长之后终究会交于一点，它们就不平行。反过来说，方向完全一致的两条直线，无论延长多远都保持等距，这才是平行。

由此还能得到一个实用判据：平行线之间的距离处处相等。这个说法有时被当成定义用，其实它是性质，由平行推出，不能反过来当判定来用而不加证明。工程和制图里用三角板贴着直尺平移画平行线，依据的正是方向不变、间距不变这两点。理解到这一层，定义、公理、判定、性质就串成了一条线，而不是四句要分别背诵的话。

常见问题

重合的两条直线算平行吗？

通常不算。中学定义要求「两条直线」是两个不同的对象，重合后只有一条直线，公共点有无数个，与「不相交」冲突。有些高等几何教材为方便讨论，把重合视作平行的特例，称为广义平行，但那属于约定差异。做题时按教材口径处理，答「不算」最稳妥。

线段和射线能说平行吗？

可以，但指的是它们所在的直线平行。线段有端点，本身无所谓相交与否，说「两条线段平行」是省略说法，完整表述是「这两条线段所在直线平行」。射线同理。平行符号 a∥b 严格说也是写在直线名上的，用到线段时要先在心里补出所在直线。

垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

在同一平面内一定平行，这是常用的判定结论：两条直线都垂直于第三条直线，则它们互相平行。但换到空间里就不成立，同一平面外可以有无数条直线与给定直线垂直，彼此方向各异。这个例子和开头的「同一平面内」是同一个提醒，凡是平行相关的结论，先确认讨论是不是限制在平面内。