无理数是什么

无理数是不能写成两个整数之比的实数。换句话说，它的小数形式是无限不循环的：√2 约等于 1.41421356，π 约等于 3.14159265，小数点后永远不重复。有理数都能写成分数，无理数一个都写不出来，这是两者唯一的分界线，中间没有灰色地带。

这条分界线看起来很技术，其实来自一个几何问题：正方形的对角线，用边长量不尽。两千多年前的这个发现，直接把"数就是整数比"的信念打碎了。

为什么正方形的对角线量不尽？

拿一个边长是 1 的正方形，由勾股定理，对角线的平方等于 1 的平方加 1 的平方，等于 2。所以对角线长度是 √2。

问题来了：这个长度能不能用两个整数之比表示？如果能，设它等于 p 比 q，p 和 q 都是正整数，而且已经约到最简，没有公因数。

两边平方，得到 2 等于 p 的平方除以 q 的平方，也就是 p 的平方等于 2 倍的 q 的平方。这说明 p 的平方是偶数，那么 p 本身也是偶数。

设 p 等于 2k，代回去，得到 4k 的平方等于 2 倍的 q 的平方，化简得 q 的平方等于 2 倍的 k 的平方。同理，q 也是偶数。

p 和 q 都是偶数，就和"已经约到最简"矛盾了。假设不成立，√2 不能写成两个整数之比。

这就是"不可公度"：找不到一段公共的长度单位，能同时量尽边长和对角线。

希帕索斯：因为一个证明被扔下船的人

毕达哥拉斯学派相信"万物皆数"，而且他们说的数只有整数和整数之比。这个信念既是数学，也是教义。

相传学派成员希帕索斯（Hippasus）最早把这个结果传了出去，被同门视为亵渎，传说被抛入海中。这个故事的真实性有争议，但它说明了一件事：这个发现当时有多刺人。

还要纠正一个流传很广的说法："无理数"这个名字不是希帕索斯命名的。希腊语里表示"不可言说""不合道理"的那个词，是学派给这类数的贬称。后来这个词被沿用下来，成了数学术语，贬义早就没有了。

这个发现的意义不在于多了一个数，而在于证明了几何量不能全用有理数刻画，数系必须再扩张一次。

√2 不是有理数，反证法的三步

第一步，假设结论的反面成立，即 √2 等于 p 比 q，且 p、q 互质。这个"互质"是全部推理的支点，没有它，最后一步的矛盾就不成立。

第二步，平方、变形，得到 p 的平方等于 2 倍的 q 的平方，推出 p 是偶数；再代回，推出 q 也是偶数。

第三步，p、q 同为偶数，与互质矛盾。假设不成立，√2 是无理数。

这个套路可以推广。证明 √3、√5 是无理数，把 2 换成 3、5 就行，推理结构一模一样。

怎么判断一个数是不是无理数？

看小数形态最快。有理数的小数要么有限，要么无限循环；无理数的小数一定无限不循环。这三句话覆盖了全部实数，没有第四种情况。

具体到题目里，常见三类：开不尽的方根，比如 √2、三次根号 2；特定常数，比如 π、自然常数 e、黄金比 (1+√5)/2；人为构造的无限不循环小数，比如 0.1010010001，每两个 1 之间 0 的个数依次增加。

反过来，凡是能写成分数、有限小数、无限循环小数的，都是有理数。

表里最容易被忽略的是第三行。无限循环小数是有理数，因为它可以化成分数。判断的关键是"循环"还是"不循环"，不是"有限"还是"无限"。

一道例题：给五个数分类

题目：把 0.333 循环、π、√9、√2、22/7 分成有理数和无理数两类。

0.333 循环是无限循环小数，等于 1/3，是有理数。π 是无限不循环小数，是无理数。

√9 要先算：3 乘 3 等于 9，所以 √9 等于 3，是整数，属于有理数。这一步最容易错，看到根号就判无理数。

√2 开不尽，是无理数。22/7 是分数形式，分子分母都是整数，按定义就是有理数。

所以有理数是 0.333 循环、√9、22/7；无理数是 π、√2。

这里要专门说 22/7。它常被当作 π 的近似值，但它本身等于 3.142857142857，是循环小数，和 π 不是一回事。π 的近似值还有 3.14、355/113，也都是有理数。

最容易错在哪

错误一：认为带根号就是无理数。√9、√16、√25 都开得尽，是有理数。判断前先算一遍。

错误二：认为分数一定是有理数，所以 π/2 也是有理数。分数的分子分母必须都是整数。π/2 的分子不是整数，整个数仍然是无理数。

错误三：把 22/7 当成 π。它是近似值，是循环小数，是有理数。这类"伪装者"还有 3.14。

错误四：认为无限小数都是无理数。1/3 写成小数是 0.333 无限循环，它是有理数。

错误五：把 0.1010010001 当成循环小数。它的规律是 0 的个数递增，没有固定循环节，所以是无理数。判断循环要看有没有重复出现的最短数字块。

错误六：说"无理数的名字是希帕索斯起的"。名字是学派起的贬称，不是发现者命名。通行译名是希帕索斯，也译作希伯索斯。

常见问题

无理数包括 0 吗

不包括。0 可以写成 0/1，是有理数。无理数的定义是"不能写成两个整数之比"，0 显然能写，所以不在其中。

π 是 22/7 吗

不是。22/7 约等于 3.142857，π 约等于 3.141593，只在前三位相同。22/7 是有理数，π 是无理数。

所有开方都开不尽吗

不是。完全平方数的平方根是整数，比如 √4 等于 2，√81 等于 9。只有非完全平方数的平方根才是无理数。判断时先看这个数是不是某个整数的平方。