正方形和长方形都是什么边形

都是平行四边形。正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，这层包含关系是这道题的全部要害。答"四边形"不算错，但那是隔了两层的答案，题目问的是更近的那一层概念，很多判断题就错在这里。

三层包含：正方形在长方形里，长方形在平行四边形里

平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形。长方形在此基础上加一个条件：有一个角是直角。正方形再加一个条件：一组邻边相等。

条件是一层层加的，所以范围是一层层缩的。正方形包含于长方形，长方形包含于平行四边形，平行四边形包含于四边形。越往下条件越多，符合的图形越少。

这个关系可以用一句话记住：正方形是长方形的一种，长方形是平行四边形的一种。反过来说"长方形是正方形"就错了，因为条件不够。

包含关系还有一层用处：它决定了性质能不能继承。平行四边形有的性质，长方形一定有；长方形有的性质，正方形一定有。反过来则不成立，正方形四条边相等，长方形就不保证。

判定标准只有一句话：看角，再看边

判定平行四边形，看两组对边是否分别平行，或者两组对边是否分别相等，或者对角线是否互相平分。三个条件满足一个即可。

判定长方形，在平行四边形的基础上看角：有一个角是直角，四个角就都是直角，因为平行四边形邻角互补，一个直角会推出其余三个也是直角。

判定正方形，在长方形的基础上看边：一组邻边相等，四条边就都相等。也可以直接看四条边相等且四个角为直角。

判定顺序不能颠倒。先证平行四边形，再证长方形，最后证正方形，这是几何证明里最稳的一条链，跳步容易漏条件。

还有一个常被忽略的判定：对角线相等的平行四边形是长方形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。把这两条合起来，对角线既相等又垂直的平行四边形，就是正方形。

对角线能一眼分出三种图形

平行四边形的对角线只互相平分，长度一般不相等，也不垂直。

长方形的对角线互相平分且相等，这是它区别于一般平行四边形的标志；但两条对角线不垂直。

菱形是另一条支线：四边相等，对角线互相垂直平分，但不一定相等。正方形同时满足长方形和菱形的条件，是两条支线的交点，这一点常被画成一张关系图。

正方形的对角线把前面两条都占了：互相平分、长度相等、还互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。这三条同时成立，只有正方形。

为什么小学课本不这么说？

人教版三年级下册先认识长方形和正方形，四年级上册才讲平行四边形和梯形。低年级为了直观，把长方形和正方形并列呈现，不强调包含关系。

这种编排有教学上的考虑：低年级学生先建立形状表象，到初中四边形一章才系统讲从属关系。但副作用是，很多人把并列呈现记成了并列关系。

初中教材明确写正方形是特殊的长方形，只是这句话出现得晚，前面的直觉已经形成了。判断题里"正方形是长方形"错答率高，原因就在这里。

这也解释了另一个常见困惑：为什么小学说"长方形和正方形"，初中却说"正方形是长方形"。两句话都对，只是回答的问题不同，一个在教认形状，一个在教理关系。

三个最容易错的地方在哪？

第一，把包含关系说成并列关系。认为正方形和长方形是两类不同的图形，互不隶属。

第二，把"特殊"理解成"例外"。特殊在这里是附加了条件的意思，不是"不算这一类"。正方形恰恰是最严格的长方形。

第三，混淆判定和性质。性质是已知是这种图形，所以有什么特征；判定是满足什么条件，所以是这种图形。方向反了，证明就写不下去。

还有一个低年级常见的错：把"对边相等"当成正方形的专有特征。平行四边形也有对边相等，正方形只是把"对边"变成了"四边"，差别在相邻的两条边。

常见问题

正方形是长方形吗？

是。长方形要求四个角都是直角，正方形满足；正方形还额外要求四条边相等。条件更多的图形，仍然属于条件更少的那一类。

平行四边形是长方形吗？

不一定。只有当一个角是直角时，平行四边形才是长方形。一般的平行四边形四个角不是直角，所以不是长方形。

正方形和长方形的面积公式为什么一样？

因为正方形是长方形的一种。长方形面积等于长乘宽，正方形边长相等，长和宽都等于边长，公式自然退化成边长的平方。