什么是分层抽样

分层抽样是把总体按某一标志先切成若干互不重叠的层，再在每一层内独立抽样，最后把各层的估计值按权重合并成总体的估计。它解决的不是「怎么抽得随机」，而是「怎么让样本的结构和总体对得上」。

分层抽样具体是怎么抽的

操作分三步。第一步分层：选一个与所研究指标相关的标志，把总体切成若干组，要求组内各单位尽量相似、组间差别尽量明显，且每个单位必须且只能落进一层，不能重复也不能遗漏。第二步抽样：在每一层内部各自做简单随机抽样或系统抽样，各层抽多少可以按比例，也可以不按比例。第三步估计：先算出每层的均值或比例，再按各层在总体中的占比加权平均。

举个常见的例子。调查某城市居民的年阅读支出，先按城乡分层，再按年龄段分层，然后在每个「城乡×年龄」的小格子里独立抽人。之所以要先分层，是因为城乡之间、年龄之间的阅读支出差别很大，如果不分层，随机抽到的样本可能年轻人偏多，估计就系统性偏低。

分层还有一个容易被忽略的好处：它保证了样本的结构。按比例分配时，每层抽到的比例相同，样本的年龄结构、城乡结构自动与总体一致，不需要事后加权调整。

分层抽样和整群抽样差在哪？

这是考试里最高频的一条，判断标准只有一句：分层是「层内差异小、层间差异大」，整群是「群内差异大、群间差异小」。分层抽样要把总体切得内部同质，整群抽样恰恰相反，它要求每个群自身就像总体的一个缩影。

为什么方向相反？因为分层抽样最终是「从每一层里都抽一部分」，层内越整齐，层内抽样误差越小，合并后的精度越高；整群抽样是「抽中几个群，把群里的人全查」，群内越杂，一个群就越能代表总体，抽少数几个群就够。如果群内很同质，抽中的群会集体偏离，误差反而被放大。

成本上的差别也来自这里。分层抽样要拿到总体的完整抽样框，能按层列出名单，实施成本高；整群抽样只需要一份「群的名单」，不必有全体成员的名单，适合抽样框缺失的场合，比如按居委会、按班级、按行政村整群抽取。

比例分配和奈曼分配怎么选？

比例分配最简单：各层按其在总体中的占比抽同样比例的人。总体里某层占三成，样本里这层也占三成。它的好处是样本结构与总体一致，各层的样本量与层规模成比例，合并估计时权重就是抽样比，计算干净。

奈曼分配（最优分配）则把样本往「波动大的层」倾斜。它按各层的规模乘以层内标准差的乘积来分配，哪个层内部差异大，就在哪个层多抽一些。直观理解是：把有限的样本量投到信息最不确定的地方，边际收益最高。代价是各层抽样比不再相同，合并时必须加权，否则估计有偏。

实际调查里常见的是折中：先按比例分配保证结构，再对个别关键层追加样本。如果各层的调查成本差别很大，还会用考虑成本的最优分配，把样本多投向单位调查成本低的层。

分层为什么能提高精度？

因为分层把总方差拆成了两部分：层内方差与层间方差。分层抽样的估计误差只取决于层内方差，层间那部分差异被「每层都抽」这个设计消掉了。层与层之间的均值差得越远，被消掉的部分越多，精度提升越明显。

这也解释了为什么分层标志选错就白费力气。如果分层用的标志与所研究的指标无关，层间均值几乎一样，拆出来的层间方差接近零，分层就等于没分，精度与简单随机抽样持平，还多花了分层的成本。反过来，标志选得准，比如用收入层去研究消费、用年级去研究成绩，提升就很显著。

分层标志该按什么标准挑？

三条：与所研究指标高度相关、分层后层内尽量同质、层数不宜过多。相关性决定收益，同质性决定误差，层数则牵涉实施成本——层数越多，每层要保证的样本量越大，总样本量随之膨胀。

常用的分层标志有地区、城乡、性别、年龄段、单位规模、历史数据的分位数。若手上有与指标高度相关的辅助变量，按它的分位数分层往往效果最好。需要注意，分层标志必须是抽样前就能确定的，且对每个单位都可得，否则分完层也抽不出来。

常见问题

分层抽样每一层都必须抽吗？

是。这是它与整群抽样最直观的差别。分层抽样要求每一层都有样本，否则该层无法估计，合并时只能把它并入其他层，等于分层失败。

层内可以再用别的抽样方法吗？

可以。层内可以用简单随机、系统抽样，也可以继续分层做多阶段设计。分层是「先切再抽」的框架，层内用什么方法不影响分层的性质。

分层抽样一定比简单随机抽样准吗？

在分层标志与指标相关的前提下，精度不会更差，通常更好。若标志与指标无关，两者精度相当；若分层不当，比如层内反而比总体更杂，也可能得不偿失。