学习通开方是乘方的逆运算，求的是哪个数的若干次方等于被开方数。动手算之前要先分清平方根和算术平方根：正数有两个平方根，一正一负；算术平方根只取正值。这一步分错，后面全错，也是最常见的失分点。
平方根、算术平方根、立方根怎么区分？
平方根：若 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的平方根。正数有两个，互为相反数；0 的平方根是 0；负数在实数范围内没有平方根。写作正负根号 a，两个值都要写。
算术平方根：非负数 a 的非负平方根，记作根号 a。它只有一个值，永远大于等于 0。题目里写根号 9，答案是 3，不是正负 3；写「9 的平方根」，答案才是正负 3。一字之差，答案差一半。
立方根：若 x 的立方等于 a，则 x 叫 a 的立方根，记作三次根号 a。任何实数都有唯一立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0。符号里的根指数 3 不能省，省了就变成平方根。
| 名称 | 符号写法 | 结果个数 | 举例 |
|---|---|---|---|
| 平方根 | 正负根号 a | 正数 2 个，0 为 1 个，负数无 | 9 的平方根是正负 3 |
| 算术平方根 | 根号 a | 1 个，非负 | 根号 9 等于 3 |
| 立方根 | 三次根号 a | 任何实数 1 个 | -8 的立方根是 -2 |
符号的写法也要注意。根号左上角的 2 通常省略，写成根号 a 就是算术平方根；要表示平方根，前面必须加正负号。立方根的 3 不能省，省了就变成另一个概念。
笔算开平方怎么一步步做？
第一步分段。把被开方数从小数点起向左右两边每两位分一段，整数部分从右往左分，小数部分从左往右分。比如 1522.75 分成 15、22、75 三段，整数部分有两段，平方根的整数部分就是两位数。
第二步试商。看第一段 15，找出平方不超过 15 的最大整数，是 3，因为 3 的平方是 9，4 的平方是 16 就超了。把 3 写在根号上方作为第一位，再从 15 里减去 9，余 6。
第三步落段。把下一段 22 落下来，得到 622。用已求得的 3 乘 20 得 60，用它去试除 622，试商 9，因为 60 乘 9 再加 9 乘 9 等于 621，不超过 622；若试商 10，则是 60 乘 10 加 100 等于 700，超了。于是第二位是 9，622 减 621 余 1。
第四步重复。落下小数段 75，得 175。用已求得的 39 乘 20 得 780，试除 175 得 0，第二位小数是 0，余 175。再补两个 0，落下来得 17500，用 390 乘 20 得 7800，试商 2，7800 乘 2 加 4 等于 15604，不超过 17500。所以根号 1522.75 约等于 39.02。
不用竖式，怎么快速估算？
夹逼法最实用。先找两个完全平方数把被开方数夹住。比如根号 50，49 小于 50，50 又小于 64，所以根号 50 落在 7 和 8 之间，整数部分是 7。
再往小数位夹。7.1 的平方是 50.41，已经超过 50，所以根号 50 小于 7.1；7.0 的平方是 49，小于 50，所以根号 50 在 7.0 和 7.1 之间，第一位小数是 0。继续夹 7.07 的平方约 49.98、7.08 的平方约 50.13，得根号 50 约等于 7.07。
还有一个一步到位的近似公式：根号下 a 的平方加 b，约等于 a 加 b 除以 2a，其中 a 的平方是小于被开方数的最大完全平方数。根号 50 等于根号下 49 加 1，约等于 7 加 1 除以 14，也就是 7.071，误差在千分位以内。被开方数越大，这个近似越准。
估算的价值在于验算。算出结果后回头夹一下，能立刻发现小数点错位、根指数看错这类低级错误，比从头再算一遍快得多。
计算器和 Excel 怎么用
手机计算器一般有根号键，直接输入数字再按即可。要算立方根，用科学计算器模式里的三次根号，或者用幂运算：8 的立方根写成 8 的 1/3 次方，输入时加括号。
Excel 里平方根用 SQRT 函数，输入等于 SQRT(50) 返回 7.0710678；立方根没有专用函数，写成 50 的 1/3 次方。注意负数的平方根会返回错误值，因为实数范围内无解，这不是软件的问题。
用公式时要留意精度。计算器显示的是四舍五入后的结果，中间步骤不要提前取整，否则误差会累积。手算和机算对不上时，先检查是不是在中途做了截断，再检查是不是把平方根当成了算术平方根。
最容易错的三个地方
「根号 16 的平方根」这类嵌套问法。先算根号 16 等于 4，再问 4 的平方根，答案是正负 2，不是正负 4。读题时把外层符号先算掉，再处理「平方根」三个字。
把算术平方根当成平方根。题目问「平方根」要给两个值，问「算术平方根」只给正值。中考里这一步丢分非常集中，而且往往是会做却写不全。
忽略取值范围。根号 a 要求 a 大于等于 0；分母上有根号时，还要求根号内的值大于 0 而不是大于等于 0。这类限制条件常常是解题的关键一步，漏掉就直接扣分。
常见问题
开方和乘方是什么关系？
互为逆运算。乘方是已知底数和指数求幂，开方是已知幂和指数求底数。就像加法与减法、乘法与除法一样，开方是乘方的反向操作，验算时平方回去就能检查。
负数能开平方吗？
在实数范围内不能。任何实数的平方都非负，所以负数没有实数平方根。到了高中引入虚数单位之后，负数可以开平方，比如 -4 的平方根是正负 2i。
笔算开平方一定要学吗？
考试一般不要求，但它是理解开方原理最直接的方式。掌握分段和试商两步，就能明白为什么每两位分一段、为什么用 20 倍去试除，比单纯记公式有用得多。