平方根怎么算

平方根是一个数平方之后等于被开方数，正数有两个，互为相反数；算术平方根只取非负的那一个。两个概念只差一个符号，却是初中代数最高频的失分点。另外，负数在实数范围内没有平方根，准确说法是"没有实数平方根"，而不是"没有平方根"。

平方根与算术平方根，差在一个 ±

若 x² = a（a ≥ 0），则 x 叫 a 的平方根，记作 ±√a。9 的平方根是 3 和 −3，写成 ±3。

记号本身也值得说一句：根号 √ 是 16 世纪欧洲数学家逐步固定下来的写法，早期版本还带一个上横线，后来才简化成今天的样子。中文教材把"求平方根的运算"叫开平方，把"求立方根的运算"叫开立方，两者合称开方，与乘方互为逆运算。

算术平方根只取非负的那个，记作 √a。√9 = 3，只有 3，不包括 −3。所以"9 的平方根是 3"这句话是错的，应该说"9 的算术平方根是 3"。

0 是唯一的例外：0 的平方根只有一个，就是 0，±√0 与 √0 都是 0。所以"正数有两个平方根"要补上"0 只有一个"，才是完整表述。这个例外在选择题里反复出现。

还有一个相关的判断：√a 有意义的条件是 a ≥ 0。因为负数在实数范围内开不出平方根，所以看到 √(x−2) 就要立刻写出 x ≥ 2。这类定义域题在中考里几乎年年出现，错的人往往是把"有意义"和"能算出结果"混为一谈。

负数为什么没有实数平方根？

任何实数的平方都非负。正数平方是正，负数平方也是正，0 的平方是 0。所以不存在一个实数，平方之后等于 −4。

这一点与立方根正好相反。负数的立方根存在，且是负数：∛(−8) = −2，因为 (−2)³ = −8。原因在于奇次方保留符号，偶次方抹掉符号。把这两条放在一起记，比单独背"负数没有平方根"更牢。

到了高中引入虚数单位 i（i² = −1）之后，−4 的平方根可以写成 ±2i。这是另一套数系里的事。初中说"负数没有平方根"，指的是实数范围，考试按这个口径答。

这里还有一个易错点：√(a²) 等于 |a|，不是 a。当 a = −3 时，√((−3)²) = √9 = 3，而不是 −3。这一步错，后面的化简会连环错，尤其在二次根式与绝对值结合的题里。

笔算开平方：以 √5 为例

规则四步：从小数点起，整数部分向左、小数部分向右，每两位分一段；对最高段试商，取平方不超过该段的最大整数；用已得结果乘以 20 作除数，试出下一位；减去乘积，落下下一段，重复。

继续补 00 得 1600，除数为 20×22 = 440，试 3 得 443×3 = 1329，商再添 3，得 2.23。再往下是 2.236。这套方法在计算器普及后很少手算，但它的逻辑就是 (20a + b)·b 的展开，理解了就不会忘。

如果被开方数是分数，先分别对分子分母开方再相除，比如 √(9/16) = 3/4。如果分母开不尽，先分母有理化再算。带小数点的数要先两位一段地分组，小数点位置决定结果的位数，这一步最容易数错。

常用近似值该背哪几个？

√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈ 2.236，√7 ≈ 2.646，√10 ≈ 3.162。这几个值在估算、比较大小、化简结果取近似时反复用到，背下来省时间。

估算的方法是夹逼。判断 √5 在哪两个整数之间：2² = 4 ＜ 5 ＜ 9 = 3²，所以 2 ＜ √5 ＜ 3。再细分，2.2² = 4.84，2.3² = 5.29，所以 2.2 ＜ √5 ＜ 2.3。继续下去可以精确到任意位。

√2 是无理数，这个结论在公元前就由毕达哥拉斯学派发现。传说希帕索斯因泄露此事被同伴投入海中，这是数学史上第一次基础危机。它证明了并非所有长度都能写成两个整数之比，直接动摇了"万物皆数"的信念。

化简也靠这几个值。√50 = √(25×2) = 5√2，√12 = 2√3，√18 = 3√2。方法是从被开方数里拆出最大的完全平方因数，拆到不能再拆为止。判断拆得对不对，看根号里还有没有平方因数。

计算器与书写规范

科学计算器上，√ 键默认是算术平方根，只出正值。要得到两个平方根，前面加 ±。求立方根用 ∛ 或 x^(1/3)，注意负数的立方根是负的，∛(−8) = −2，这与平方根不同。

书写时根号要覆盖整个被开方数。√2 + 3 与 √(2+3) 是两回事，前者约 4.414，后者约 2.236。手写时横线要拉够长度，这是被扣分的常见原因，也是阅卷时最容易看错的地方。

中学阶段的考试一般不允许使用计算器，所以近似值必须自己算或背。到了高中和大学，计算器、图形计算器乃至软件都可以用，但"结果是否合理"的判断能力反而更重要——算出 √2 ≈ 1.4142 之后，能不能立刻察觉 14.142 是把小数点挪错了，靠的是估算习惯而不是按键。

常见问题

√16 的平方根是多少？

先算 √16 = 4，再求 4 的平方根，答案是 ±2。这道题的陷阱在于题面问的是"√16 的平方根"而不是"16 的平方根"。16 的平方根是 ±4，两者差一层。

一个数的平方根和它的算术平方根可能相等吗？

只有 0 和 1。0 的平方根是 0，算术平方根也是 0；1 的平方根是 ±1，算术平方根是 1，但"平方根"取正值时与算术平方根相等。严格说，只有 0 和 1 这两个数的非负平方根等于它的算术平方根。

开平方和平方是互逆运算吗？

在非负实数范围内互逆。对任意 a ≥ 0，(√a)² = a 成立；但对任意实数 a，√(a²) = |a|，只有 a ≥ 0 时才等于 a。所以严格说，平方再开方会丢掉符号，这是它不能算作完全互逆的原因。

一个数的平方根可能是它自己吗？

可以，只有 0 和 1。设 x² = x，解得 x = 0 或 x = 1。0 的平方根是 0，1 的平方根是 ±1，其中 1 与自己相等。−1 不行，因为 (−1)² = 1 ≠ −1。这类"解方程找不动点"的思路，比逐个数试要快。