学习通绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，记作 |a|。距离没有方向，所以绝对值永远大于等于 0。|3| = 3，|-3| = 3，|0| = 0，这三个结果说的是同一件事：这三个点离原点分别是 3 个、3 个、0 个单位。把符号去掉，只留下长度，这就是绝对值的全部含义。
很多人背"正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数"，一遇到 |a| 还是写错，原因是没有把"距离"这个几何图像立起来。
先把"距离"这件事说清楚
数轴上，原点记作 0，右边是正方向，左边是负方向。每个数对应一个点，比如 3 在原点右边第 3 个单位，-3 在左边第 3 个单位。
点到原点的距离就是这段线段的长度。长度不可能是负数，所以 |-3| 表示"从 -3 到 0 有多远"，答案是 3。
距离还有一条性质：对称。原点左右各 3 个单位的地方到原点的距离都是 3，所以 |-3| 和 |3| 相等。反过来，两个数到原点的距离相等，它们要么相等，要么互为相反数。
从几何定义推出代数式
把"距离"翻译成代数式，要分三种情况：点在原点右边、原点上、原点左边。
a 大于 0 时，点在原点右边，它到原点的距离就是 a 本身，所以 |a| = a。
a 等于 0 时，点就是原点，距离是 0，所以 |0| = 0。
a 小于 0 时，点在原点左边，距离是 a 的相反数。注意 -a 在这里是一个正数，不是负数。比如 a = -5，|a| = -(-5) = 5。所以 |a| = -a。
把这三段合起来，就是去掉绝对值符号的规则：里面是正数或零，原样拿出来；里面是负数，整体变号再拿出来。判断"里面是正是负"是每一步化简的前提。
写成式子就是 |a| = a（当 a ≥ 0），|a| = -a（当 a < 0）。0 归到第一种，因为 |0| = 0 和 |0| = -0 都对，归哪边不影响结果，书写时通常归到 a ≥ 0 那一支。
|a| 和 ±a 到底是什么关系？
先说结论：|a| 一定是非负数，a 可以是任意实数，两者不能随手替换。
两条恒成立的不等式是 |a| ≥ a 和 |a| ≥ -a，等号分别在 a ≥ 0 和 a ≤ 0 时成立，在 a = 0 处重合。
还有一个好用的恒等式：|a| 的平方等于 a 的平方，因为 (|a|)² = a²，正负号被平方吃掉了。解方程时两边平方常常能绕开分类讨论。
|a - b| 是两点间的距离
|a| 只是特例，完整的形式是 |a - b|，它表示数轴上 a 与 b 两点之间的距离。把 b 取成 0，就退化成 |a|。
为什么是减法？因为 a - b 是"从 b 走到 a 需要移动多少"，带方向，加上绝对值就只剩下距离。所以 |3 - 8| = |-5| = 5，表示 3 和 8 相距 5。
|a + b| 等于 |a - (-b)|，也就是 a 到 -b 的距离。看到加号，先改写成减号，图像就清楚了。
| 表达式 | 几何意义 | 举例 |
|---|---|---|
| |a| | a 到原点的距离 | |-5| = 5 |
| |a - b| | a 到 b 的距离 | |3 - 8| = 5 |
| |a + b| | a 到 -b 的距离 | |3 + 2| = 5，即 3 到 -2 |
| |x - 2| = 3 | 到 2 的距离为 3 的点 | x = 5 或 x = -1 |
| |x| < 3 | 到原点距离小于 3 的点 | -3 < x < 3 |
这个图像在生活里很常见。零件标注"直径 20 毫米，误差不超过 0.05 毫米"，写成式子就是 |d - 20| ≤ 0.05，解出来 d 在 19.95 到 20.05 之间。温度、体重的"允许偏差"本质都是绝对值不等式。
最后一行值得单独说：|x| < 3 的解集是一段从 -3 到 3 的开区间，不是两个点，因为"距离小于 3"的点有无数个。而 |x| = 3 只有两个点。
含两个绝对值的方程怎么解？
题目：解方程 |x - 2| + |x + 1| = 5。
这类题的通用方法是找零点、分段讨论。两个绝对值分别在 x = 2 和 x = -1 处等于 0，把数轴分成三段。
第一段，x 小于 -1。此时 x - 2 是负数，去绝对值要变号，得 2 - x；x + 1 也是负数，得 -x - 1。方程变成 (2 - x) + (-x - 1) = 5，化简得 1 - 2x = 5，解得 x = -2。检验：-2 确实小于 -1，符合条件。
第二段，x 大于等于 -1 且小于 2。此时 x - 2 是负数，得 2 - x；x + 1 是非负数，得 x + 1。方程变成 (2 - x) + (x + 1) = 5，左边化简恒等于 3，3 不等于 5，这一段无解。
第三段，x 大于等于 2。两个都是非负数，直接去绝对值，得 (x - 2) + (x + 1) = 5，化简得 2x - 1 = 5，解得 x = 3。检验：3 大于等于 2，符合条件。
答案：x = -2 或 x = 3。几何验证：-2 到 2 的距离是 4，到 -1 的距离是 1，加起来 5；3 到 2 的距离是 1，到 -1 是 4，加起来也是 5。
最容易错在哪
错误一：认为 |-a| = -a。正确结论是 |-a| = |a|，永远非负。取相反数不改变到原点的距离。
错误二：去绝对值时不讨论符号。直接把 |x - 2| 写成 x - 2，只有在 x ≥ 2 时才成立。x 小于 2 时应该写成 2 - x。
错误三：把 |a| = -a 理解成"绝对值可以是负数"。这是最要命的一条。原句省略了前提，抄进笔记就变成了错误结论。
错误四：解 |x| = a 时漏解。a 大于 0 时有两解 x = ±a；a 等于 0 时只有一解 x = 0；a 小于 0 时无解。三种情况要分开答，不能一律写 ±a。
常见问题
绝对值可以是负数吗
不可以。绝对值是距离，距离最小是 0。所以 |a| ≥ 0 对任意实数 a 都成立，等号只在 a = 0 时取到。
|a| 和 a 有什么区别
a 可以是负数，|a| 一定是非负数。两者在 a ≥ 0 时相等，在 a < 0 时互为相反数，做题时不能把 |a| 直接当成 a。
为什么 |a - b| 表示两点间的距离
因为 a - b 表示从 b 到 a 的位移，带方向；加上绝对值，方向被抹掉，只剩下长度。把 b 换成 0 就得到 |a|。