二次根式的加减怎么算

二次根式的加减只有三步：先把每个根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同的才能合并；合并时只加减根号外的系数，根号部分原样保留。第一步做不到位，后面的判断全是白算，这一步没有捷径。

三步：化简、认同类、合并

第一步化简是全部工作的前提。√12 化成 2√3，√28 化成 2√7，√50 化成 5√2，化到被开方数不能再拆为止。第二步看化简后的被开方数，相同的就是同类二次根式。第三步把系数相加减：2√5 + √5 ＝ 3√5，3√7 − √7 ＝ 2√7，根号里的数一个都不动。

不同类的不能合并。√2 + √3 就停在那里，写成 √5 是错的——这是这一节最高频的错误，根号不能像括号那样把里面的数相加。判断是否同类，看的是化简之后的结果，不是原式长什么样，√8 与 √18 表面上毫无关系，化简后是 2√2 与 3√2，属于同类。

把上表两列合起来看就明白：√8 + √18 ＝ 2√2 + 3√2 ＝ 5√2，一步就能算完；而 √8 + √12 只能写成 2√2 + 2√3，没有进一步合并的余地。做题时先在草稿上把每个根式单独化简、标出被开方数，再归类，比直接往下写稳。

三项以上的式子按从左到右处理，有括号先算括号。例如 √50 − √18 + √8 ＝ 5√2 − 3√2 + 2√2 ＝ 4√2，先各自化简再一次性合并。中间不要跳步，跳步是漏项和符号出错的主要原因，尤其是减号后面跟着根式的时候。

什么算「最简二次根式」？

判定标准有两条，缺一不可。第一条，被开方数不含分母，也不含小数；第二条，被开方数中每个因式的指数都小于根指数 2，换句话说，不含能开得尽方的因数或因式。二次根式的根指数是 2，所以被开方数里不能出现平方因子。

按这两条去套，√12 不合格，因为 12 含平方因子 4；√(1/2) 不合格，因为被开方数是分数；1/√2 也不合格，虽然被开方数 2 干净，但分母上有根号，需要分母有理化成 √2/2。合格的例子是 2√3、√7、√2/2、3√5，被开方数既无分母也无平方因子。

分母有理化常用两招。分母是单个根号，分子分母同乘这个根号，1/√2 ＝ √2/2；分母是 √3 + 1 这样的和式，乘它的共轭式 √3 − 1，用平方差把分母变成整数，1/(√3 + 1) ＝ (√3 − 1)/2。这一步不是化简的附属品，而是「最简」这条标准逼出来的动作。

被开方数是多项式时，先因式分解再看有没有平方因子。√(x²y) 与 √(xy²) 长得像，化简结果却不同：前者是 |x|√y，后者是 |y|√x，各自能开出来的是平方的那个字母。这一步判断错了，后面的同类合并会跟着全错。

化简时最容易错的两处

第一处是 √12 拆成 3√2。正确的拆法是找最大的平方因子：12 ＝ 4 × 3，4 开出来是 2，根号里剩 3，所以是 2√3。写成 3√2 的人往往是把 12 拆成 9 + 3 或者记混了因数，验算一下最快——(2√3)² ＝ 12，(3√2)² ＝ 18，一眼就能看出错。

第二处是 √a² 直接写成 a。正确结果是 |a|，因为算术平方根非负：a 取 −3 时 √((−3)²) ＝ √9 ＝ 3，而 a 本身是 −3。只有题目明确 a ≥ 0，才能去掉绝对值写成 a。带字母的化简题，几乎都要先讨论字母的取值范围，这一步漏掉，整题白做。

同一个道理推广到 √(a²b)，结果是 |a|√b，前提是 b ≥ 0。如果题目没有给出 a 的符号，答案必须带绝对值；如果给出 a ＜ 0，则化成 −a√b。这类题在期中期末里出现频率很高，扣分点几乎都在绝对值上。

还有一种变形是 √(a − 1)²。化简结果是 |a − 1|，要按 a ≥ 1 与 a ＜ 1 分两种情况写成 a − 1 或 1 − a。题目给了取值范围就直接代入，没给就必须分类讨论，不能默认括号里是正数。

加减要化简，乘除为什么不用？

因为运算规则不同。乘法有 √a · √b ＝ √(ab)，除法有 √a ÷ √b ＝ √(a/b)，只要被开方数非负、除数不为零，直接乘除即可，不需要事先化成最简；只是最后的结果要化简，否则不算完成。加减没有对应的「根号内相加减」法则，只能靠同类合并，所以必须先把每个根式整理成标准形态才能比对。

这也是学生最容易混的地方：看到 √3 · √12 想先化简，其实直接算 √36 ＝ 6 更快；看到 √3 + √12 却想直接加，正确做法是先化成 √3 + 2√3 ＝ 3√3。记一句：乘除可以硬算，加减必须化装。

乘除的结果同样要检查是否最简。√48 ÷ √3 ＝ √16 ＝ 4，一步到位；先化简再除，4√3 ÷ √3 也是 4，结果一样但多绕一步。哪种顺手用哪种，只是别把「不用先化简」理解成「不用化简结果」。

还有一条前置条件常被忽略：二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零。含字母的题目先写取值范围，再动笔化简；分母含根号时，还要额外排除使分母为零的取值。范围写错，后面的化简再漂亮也是零分。

顺便分清两个概念。根指数为 2 的才叫二次根式，三次根式、四次根式另有法则，不能套用同一条合并规则；同次根式可以互化，不同次的要先化成同次再谈运算，这也是「几个根式总可以化成同次根式，但不一定能化成同类根式」这句话的意思。

常见问题

√2 + √8 等于 √10 吗？

不等于。√8 化简为 2√2，所以原式是 √2 + 2√2 ＝ 3√2。√10 的平方是 10，而 (3√2)² 是 18，两者不相等。判断这类题，平方验算是最快的自查手段。

被开方数不同就一定不能合并吗？

化简后不同才不能合并。√(1/2) 与 √8 的被开方数一个含分母、一个是整数，看着无关，化简后分别是 √2/2 与 2√2，同类，可以合并成 (5/2)√2。所以顺序永远是先化简再判断。

系数是分数或带根号时怎么合并？

按普通代数式合并同类项的办法处理，系数照常加减，根号部分不变。例如 (1/2)√3 + (3/2)√3 ＝ 2√3；2√2 − √2/2 ＝ (3/2)√2。分数运算不熟是这一步出错的主因，与根式本身无关。