cos(α±β)等于什么

cos(α+β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ，cos(α−β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ。两个展开式的中间符号都与括号里的符号相反，这就是「余余正正，符号相反」。它和余弦定理是两回事：余弦定理讲三角形三边与一角的关系，这两个公式讲两个角的和与差。记住它不靠死背，要弄清符号为什么相反，再把 β 换成 −β 验一次。

两个公式，只差一个符号

先看清结构：展开后是两项，第一项是余弦乘余弦，第二项是正弦乘正弦，两项之间用减号或加号连接。没有第三项，也没有系数，这是它最简单的样子。

括号里是加号，展开后用减号；括号里是减号，展开后用加号。符号永远相反，这是最容易被记反的地方，也是考试里最常设的陷阱。

代入特殊角可以自检。令 α = β = 30°，左边 cos60° = 1/2；右边 cos30°·cos30° − sin30°·sin30° = 3/4 − 1/4 = 1/2，成立。考场上忘了符号，代一组 30°、60° 试一下，三十秒就能验出来，比反复回忆口诀可靠。

还要把这两个公式与余弦定理彻底分开。余弦定理写的是 a² = b² + c² − 2bc·cosA，讲一个三角形里三条边和一个角的关系，用于解三角形；和差角公式讲的是两个角之间的运算，用于化简与求值。题目问「cos(α±β) 等于什么」，问的是后者，答成余弦定理就是答错了对象。两者形式上都出现余弦，容易看混，但一个在三角形里，一个在角上。

口诀怎么用，错在哪？

最容易混的是 sin 与 cos 的符号规律。cos 的符号与括号里相反，sin 的符号与括号里相同。根源在奇偶性：cos 是偶函数，sin 是奇函数，把 β 换成 −β 时，cos 不变号、sin 变号，符号的走向就此确定。

第二个易错点：sin(α+β) 不等于 sinα + sinβ。代 30° 和 60° 验一下，sin90° = 1，而 sin30° + sin60° ≈ 1.366，差了三分之一。把函数符号当乘法分配律用，是这类题最典型的错误。

第三个易错点是 tan 的分母。1 − tanαtanβ 在分母上，意味着 tanαtanβ = 1 时公式失效。这时 α+β = 90° + k·180°，tan 本身不存在，不是公式错了，是定义域不满足。

口诀还有一个隐含前提：它只管"和差角"这一层，不负责后面是否还能继续化简。展开之后常常能合并同类项，或者用同角关系进一步化简，停在展开式上不算做完。这一步的熟练度，比记口诀更影响得分。

用单位圆推一遍

在单位圆上取两点 P(cosα, sinα) 和 Q(cosβ, sinβ)，对应的圆心角分别是 α 和 β。先用坐标算两点距离的平方。

|PQ|² = (cosα − cosβ)² + (sinα − sinβ)²，展开得 cos²α − 2cosαcosβ + cos²β + sin²α − 2sinαsinβ + sin²β。利用 sin² + cos² = 1，化简为 2 − 2(cosαcosβ + sinαsinβ)。

再用余弦定理。三角形 POQ 的两边都是半径 1，夹角是 α − β，所以 |PQ|² = 1 + 1 − 2cos(α − β) = 2 − 2cos(α − β)。两式相等，两边消去 2，得 cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ。

把 β 换成 −β，利用 cos(−β) = cosβ、sin(−β) = −sinβ，立刻得到 cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ。差角公式推出来了，和角公式是它的推论，整个推导只用了勾股定理和余弦定理。

也可以用向量点积，一步到位：两个单位向量的点积等于它们夹角的余弦，也等于对应坐标乘积之和，两边一写就是差角公式。两种推导本质相同，都是把"角的差"翻译成"坐标的运算"。

这个推导的好处是不依赖图形的位置关系。α 和 β 谁大谁小、是不是超过 180°，都不影响结论，因为距离和点积的表达式对任意角都成立。很多教材只画第一象限的图，学生就以为公式只在小角度下有效，这是看图造成的误解。

兄弟公式是怎么长出来的？

sin(α+β) = cos[90° − (α+β)] = cos[(90° − α) − β]。套差角公式展开，得 cos(90°−α)cosβ + sin(90°−α)sinβ，再用诱导公式换成 sinαcosβ + cosαsinβ。

整个推导只用了余弦的差角公式和一组诱导公式，没有引入新东西。sin(α−β) 同理，把 β 换成 −β 即可。所以记住一个源头，其余都能现场推，比背六个公式可靠得多。

这也解释了一个常见的困惑：为什么教材先讲余弦再讲正弦，而不是反过来。因为余弦的差角公式能直接从距离或点积得到，正弦要靠诱导公式绕一步。顺序反过来，推导会更绕，初学者容易在符号上翻车。

tan 由 sin 除以 cos 得到。分子分母同除 cosαcosβ，化成 (tanα+tanβ)/(1 − tanαtanβ)。这个变换要求 cosα、cosβ 都不为零，否则除法的前提不成立。

二倍角只是取 β = α

令 β = α，cos2α = cos²α − sin²α。再用 sin²α + cos²α = 1 替换，得到两个等价形式：2cos²α − 1 和 1 − 2sin²α。

三个形式要都会用。求值时看已知的是 sin 还是 cos，选对应的那个；化简时看目标是降幂还是升幂。由 2cos²α − 1 反解出 cos²α = (1 + cos2α)/2，这就是降幂公式的来源，积分里降幂全靠它。

同理，sin2α = 2sinαcosα，tan2α = 2tanα/(1 − tan²α)。半角公式则是把二倍角公式反解，把 α 换成 α/2，并注意正负号的取舍要看象限。

再往上一层是和差化积与积化和差，它们是和角公式的加减组合。把 cos(α−β) 与 cos(α+β) 相加得 2cosαcosβ，相减得 2sinαsinβ，这就是积化和差的两条。整章公式其实是一棵树，根在余弦差角。

这棵树在解题时的价值很直接。遇到 75°、15° 这类非特殊角，拆成 45° ± 30° 就能求值；遇到 asinx + bcosx 这样的式子，用和角公式的逆运算合成一个正弦，最大值和周期立刻出来；遇到求导、积分里的三角变形，靠的也是这一组。

常见问题

cos(α+β) 和 cosα + cosβ 有什么区别？

前者是一个角的余弦，后者是两个余弦之和，两者一般不等。代 α = β = 30°，前者是 1/2，后者约 1.732。只有在特殊取值下才可能相等，不能当作恒等式使用。

公式里的 α 和 β 可以是任意角吗？

cos 与 sin 的和差角公式对任意实数角都成立，包括负角和大于 360° 的角，因为推导只依赖单位圆上的坐标。tan 的公式有额外限制，要求各个正切都有意义，分母不为零。

记不住符号怎么办？

两个办法。一是代特殊角验算，30° 和 60° 足够；二是回到奇偶性，cos 偶、sin 奇，把 β 换成 −β 时谁变号一目了然。理解奇偶性比背口诀稳，口诀只解决 cos，不解决 sin。