祖冲之发明了什么

祖冲之最硬的一项成果，是把圆周率精确到小数点后第七位，算出它在 3.1415926 与 3.1415927 之间。他给出的密率 355/113 和约率 22/7，前者在欧洲要再过约一千年才被重新得出。此外他还编制《大明历》、制造指南车与千里船，但这些成就的性质并不相同。

圆周率：他到底算到了哪一位？

《隋书·律历志》留下了一段精确到不可思议的记载，说圆周「盈数」为三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，「朒数」为三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，真值在这两个数之间。用今天的写法，就是 3.1415926 小于 π 小于 3.1415927。这段文字本身就是证据，不需要靠后人的转述。

方法是刘徽的割圆术：用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，边数越多越接近。要得到七位小数的精度，边数得加到万级以上，学界一般推算为一万二千二百八十八边形，也有说两万四千五百七十六边形的，具体数字说法不一，因为原始计算过程随《缀术》一起失传了。可以确定的是，在没有算盘、没有小数记号的年代，这需要摆算筹完成上万次开方运算，其中任何一步出错都要从头再来。

密率 355/113 精妙在哪？

用分数逼近无理数，分母越小、精度越高越难得。355/113 化成小数是 3.14159292，与真值相差不到三百万分之一，而分母只有三位数。对比一下：22/7 的误差在千分之一量级，355/113 的精度提高了上千倍，代价只是分母从 7 变成 113。这个比值在数论上属于连分数展开的一个收敛项，古人未必知道连分数，却摸到了同一处。

日本数学史家三上义夫把它称为「祖率」，这个叫法后来被广泛沿用。欧洲要到十六世纪才有同样的结果，通常记在德国人奥托名下。需要说明的是，密率并非祖冲之首创的「发现」，而是他算出的最佳近似，印度、阿拉伯的数学文献里也有相近的分数，但时间都更晚。

《大明历》的两处改动

第一处是岁差。东晋的虞喜发现冬至点每年会向西微移，提出「岁差」的概念，但一直没有进入历法计算。祖冲之在《大明历》里第一次把这个量算了进去，他测得「四十五年十一月差一度」。这个数值与现代值相比仍有偏差，但在历法史上是从「把岁差当观念」到「把岁差当参数」的转折，回归年的长度因此算得更准。

第二处是闰周。旧历沿用十九年七闰，闰月分布不均，久了会出现时序与天象错位。他改为三百九十一年一百四十四闰，把闰月撒得更均匀。此外他算出的交点月长度与今值只差一秒多，这是能较准确预报日食的基础。

《大明历》的遭遇值得一提。他在大明六年上表献历，遭到宠臣戴法兴的激烈反对，争论的焦点是「古人制章，万世不易」还是「天数微差，不可守旧」。这场辩论他赢了道理，却没能让历法立刻颁行，直到他去世十年后才正式使用。一部更精确的历法，被压在旧规矩下面近半个世纪。

指南车、千里船，是他发明的吗？

严格说，多数是「重造」而非「首创」。指南车的传说可以追到黄帝，三国时马钧也造过，祖冲之在刘宋末年按古法重新制造了一辆。它的原理是齿轮传动：车箱里一组差速齿轮，只要车轮转动，车上的木人手指始终指南，和磁性无关。这类装置在平地上有效，转弯多了会有累积误差，所以史书强调「其制甚精」而不说「永不差」。

千里船是在新亭江试航的，记载说日行百余里，靠的是改进的桨轮驱动，类似后世的明轮船。水碓磨建在乐游苑，把水轮、碓和磨连在一起，一套水力同时带动舂米和磨面。欹器则是先秦就有的器物，空时倾斜、装一半正立、装满就翻倒，孔子曾借此讲「满招损」，祖冲之做的是复原。

这些器物的具体形制都没有实物传世，复原方案依赖后人推测，学界对齿轮结构、桨轮布局仍有不同意见。把它们统称为「发明」并不严谨，更准确的说法是「设计并制造」。

《缀术》为什么失传了？

《缀术》是祖冲之最重要的著作，唐代被列入《算经十书》，是算学馆的必读书，学习年限定为四年，比《九章算术》还长，可见其难度。书中应当包含圆周率的推算过程和球体积的解法，这两项正是最需要详细步骤的内容。

失传的原因没有定论。一种说法是内容过于艰深，能读懂的人越来越少，抄本无人转写，逐渐散佚；另一种说法与宋代印刷术普及后的选本偏好有关，篇幅大、读者少的书最先被放弃。到北宋元丰年间校刻算经时，《缀术》已经找不到了，今天只能从《隋书》等书的引文里看到零散结论。一部代表当时最高数学水平的书，连一个完整抄本都没留下。

还有一件常被忽略的事：祖冲之的儿子祖暅之也是一流的数学家，提出了「幂势既同，则积不容异」的原理，即等高处的截面积相等则体积相等，用来求球体积，比西方的卡瓦列里原理早约一千年。父子两代人的工作，构成了中国数学史上一段少见的连续高峰。

常见问题

祖冲之是哪个朝代的人？

南北朝时期的南朝，历经刘宋和南齐两朝，生于公元 429 年，卒于 500 年。祖籍范阳遒县，即今河北涞水一带，本人出生在建康，也就是今天的南京。他的官职是长水校尉，属于技术性官职。

圆周率是他最早算出来的吗？

不是。在他之前，刘徽用割圆术算到 3.14，东汉的张衡、三国的王蕃也各有近似值。祖冲之的贡献是把精度推到小数点后第七位，并保持了近千年的世界纪录。方法上他继承的是刘徽，不是另起一套。

为什么说密率比约率更难得？

因为精度和简洁很难兼得。约率 22/7 好记但误差较大，密率 355/113 用一个三位数的分母换来了极高的精度，这种「小分母高精度」在数学上属于难得的最优逼近，不是靠试算能碰上的。